Το βιβλίο αυτό είναι αφιερωμένο στη μελέτη των διαφορικών μορφών, τις οποίες χρησιμοποιεί προκειμένου να αναδείξει ορισμένα τεχνικά μέσα για την αντιμετώπιση προβλημάτων τοπικής και ολομερούς φύσεως που συναντώνται στη Διαφορική Γεωμετρία Επιφανειών. Οι διαφορικές μορφές εισάγονται κατά τρόπο απλό και κατανοητό, κάτι που τις καθιστά προσιτές σε οιονδήποτε "χρήστη" των Μαθηματικών ο οποίος διαθέτει μόνον βασικές γνώσεις από τη Γραμμική Άλγεβρα και την Πραγματική Ανάλυση. Εξάλλου, η παράθεση μιας σύντομης και στοιχειώδους εισαγωγής στη Θεωρία των Διαφορισίμων Πολυπτυγμάτων επιτρέπει την απόδειξη του κύριου θεωρήματος περί διαφορικών μορφών, "ήτοι του θεωρήματος του Stokes", στην πιο φυσική του εκδοχή.
Οι εφαρμογές περιλαμβάνουν, μεταξύ άλλων, και την παρουσίαση τής μεθόδου των κινουμένων πλαισίων του E. Cartan, η οποία διευκολύνει τη διερεύνηση τόσο των τοπικών διαφορογεωμετρικών ιδιοτήτων επιφανειών εμβαπτισμένων εντός τού ΙR 3 όσο και της "εσωτερικής γεωμετρίας" γενικότερων επιφανειών. Στο τελευταίο κεφάλαιο, ο συνδυασμός όλων των τεχνικών που αναπτύσσονται στα προηγούμενα κεφάλαια οδηγεί στην κατά Chern απόδειξη του θεωρήματος των Gauss και Bonnet για προσανατολισμένες συμπαγείς επιφάνειες. Επιπροσθέτως, παρατίθεται και η απόδειξη του θεωρήματος του Morse, το οποίο εκφράζει την κατά Euler και Poincare χαρακτηριστική χ(Μ) οιασδήποτε προσανατολισμένης συμπαγούς επιφανείας Μ μέσω του πλήθους των σημείων μεγίστου και ελαχίστου, και των σαγματικών σημείων μιας διαφορίσιμης συνάρτησης f: Μ-> ΙR χωρίς εκφυλισμένα κρίσιμα σημεία.
Κάθε κεφάλαιο του βιβλίου κλείνει με αρκετές προτεινόμενες ασκήσεις (πολλές εξ αυτών συνοδευόμενες από λεπτομερείς υποδείξεις) που βοηθούν στην εμπέδωση της θεωρίας και στη φυσιολογική μετάβαση του αναγνώστη σε άλλα συναφή γνωστικά αντικείμενα αναμφισβήτητης αξίας.
Ο Manfredo P. do Carmo γεννήθηκε στη Βραζιλία το 1928. Έλαβε το πτυχίο τού μηχανικού από το Ομοσπονδιακό Πανεπιστήμιο Pernambuco της Βραζιλίας το 1951 και τον διδακτορικό του τίτλο στα Μαθηματικά από το Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας το 1963. Είναι καθηγητής στο Ινστιτούτο Θεωρητικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών (ΙΜΡΑ) του Rio de Janeiro. Ο καθηγητής do Carmo διετέλεσε Guggenheim Fellow (1967-68) και ήταν προσκεκλημένος ομιλητής στο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών στο Helsinki της Φινλανδίας το 1978. Βραβεύθηκε με το Εθνικό Αριστείο Επιστήμης και Τεχνολογίας (CΝΡq) Βραζιλίας το 1984 και με το Βραβείο Μαθηματικών ΤWAS στην Τεργέστη της Ιταλίας το 1992. Είναι μέλος της Ακαδημίας Επιστημών Βραζιλίας από το 1971. Τα ερευνητικά ενδιαφέροντα του καθηγητή εστιάζονται στη Διαφορική Γεωμετρία και, ιδιαιτέρως, στην επίδραση της καμπυλότητας στην Τοπολογία Πολυπτυγμάτων, στην ακαμψία και την κυρτότητα ισομετρικών εμβαπτίσεων, στην ευστάθεια ελαχιστικών επιφανειών και υπερεπιφανειών με σταθερή μέση καμπυλότητα, και στις πλήρεις υπερεπιφάνειες με σταθερή μέση καμπυλότητα και πεπερασμένη ολική καμπυλότητα.
